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quarta-feira, 12 de dezembro de 2012

Módulo e Argumento


          Módulo e argumento
          A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo
          Considere a figura a seguir: 





          Sendo P o afixo do número complexo z , de módulo ½ z½ , no triângulo OaP, podemos escrever:
cosa = a / ½ z½ \ a = ½ z½ . cosa e b = ½ z½ . sena
          O ângulo a é denominado argumento do número complexo z e a distância OP é denominada módulo do complexo e representada por ½ z½ , ou pela letra grega r (rô). 
          No triângulo retângulo AoP , podemos escrever a seguinte expressão para a determinação da tangente do ângulo a : 
..onde 0º £ a £ 360º 
          Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AoP, podemos escrever a seguinte relação para calcular o módulo do número complexo z:


Obs:

1) é usual representar o módulo de um número complexo, pela letra grega 
ᵨ (rô).

2) Um número complexo de módulo r e argumento q , pode ser representado pelo símbolo z = r Ð q . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).

EXEMPLO:

          Dado o número complexo z = 1 + Ö 3 i , determine o módulo e o argumento de z.

a) Módulo: ou seja r = 2.
b) Argumento: tg a = b / a = Ö 3 / 1 = Ö 3 Þ a = 60º = p / 3 rad (radianos).

1.2- Forma polar de um número complexo
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem:
z = ½ z½ (cosa + i . sena ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60º + i.sen60º)

Exemplos:
z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(Ö 3 / 2 + i . 1 /2) = 5Ö 3 + 5i
w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i
s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100
u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i 
Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos.

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